La finestra di Snell

Prima d’iniziare a parlare della finestra di Snell è forse opportuno soffermarsi brevemente sul fenomeno della rifrazione della luce, che ne costituisce il fondamento fisico.

La rifrazione della luce

Quando un raggio di luce, propagandosi, incontra il confine fra due mezzi trasmissivi aventi un diverso indice di rifrazione, quel raggio non riesce a passare interamente dal primo al secondo mezzo. Solo parte della luce, pur con una leggera deviazione, prosegue il suo viaggio in avanti. La parte rimanente, invece, torna indietro subendo una riflessione sulla superficie di confine.

Il fenomeno è illustrato nella figura sottostante. I due mezzi trasmissivi presi ad esempio sono l’aria (avente indice di rifrazione unitario) ed un vetro ottico (con indice di rifrazione pari ad 1,523). Naturalmente avremmo potuto considerare altri mezzi, come l’acqua o qualunque altro materiale otticamente trasmissivo.

Rifrazione e riflessione della luce. — *Quando un raggio di luce incidente incontra il confine fra due mezzi trasmissivi* *diversi, non tutta la luce riesce a passare dal primo al secondo mezzo. Nascono così due componenti dette “componente trasmessa* *o rifratta*” e “*componente* *riflessa”.*
*Immagine tratta dal libro* “*Gli obiettivi fotografici*” *di Romolo Stolfa.*

Gli elementi presenti in figura hanno il seguente significato:

la prima freccia verde – ossia quella che viaggia nel primo mezzo trasmissivo – rappresenta la componente incidente della luce;
la seconda freccia verde – che viaggia nel secondo mezzo trasmissivo – rappresenta la parte di radiazione luminosa che è riuscita ad attraversare la superficie di confine. Questa porzione di luce è detta componente rifratta oppure componente trasmessa;
la freccia rossa rappresenta la parte di radiazione luminosa che, non essendo riuscita ad attraversare la superficie di confine, torna indietro. È detta pertanto componente riflessa;
la linea tratteggiata non è altro che la retta perpendicolare alla superficie di separazione dei due mezzi, nel punto d’incidenza. È stata tracciata nel disegno in quanto è presa come riferimento nella definizione dei tre angoli θ appresso definiti;
l’angolo θ_i , detto angolo incidente, è l’angolo che il raggio incidente forma con la retta tratteggiata;
l’angolo θ_t , detto angolo trasmesso, è l’angolo che il raggio trasmesso forma con la retta tratteggiata;
l’angolo θ_r , detto angolo riflesso, è l’angolo che il raggio riflesso forma con la retta tratteggiata.

Per completezza aggiungiamo tre importanti osservazioni:

i tre raggi – incidente, riflesso e trasmesso – nonché la retta tratteggiata, giacciono tutti nello stesso piano;
l’angolo riflesso θ_r risulta sempre uguale all’angolo incidente θ_i (legge della riflessione);
l’angolo trasmesso θ_t , se sono noti l’angolo incidente e gli indici di rifrazione dei due mezzi, può essere calcolato. Ciò è possibile grazie alla legge della rifrazione, detta pure legge di Snell-Descartes.

La formulazione matematica delle due leggi appena menzionate è riportata qui di seguito.

Legge della riflessione:

\space\theta_r=\theta_i

Legge di Snell-Descartes:

\frac{\sin \theta_t}{\sin\theta_i}=\frac{n_1}{n_2}

Nel caso in cui il primo mezzo trasmissivo – ossia quello in cui viaggia il raggio incidente – abbia un indice di rifrazione inferiore a quello del secondo mezzo, la luce, una volta superato il confine, piega la sua direzione verso la perpendicolare. In altre parole, il raggio rifratto s’avvicina alla retta tratteggiata. Nel caso contrario – ossia quando il raggio incidente incontra un mezzo trasmissivo con un indice di rifrazione più basso – allora il raggio rifratto piega nell’altra direzione, allontanandosi dalla retta perpendicolare.

La riflessione totale

Abbiamo appena detto che, quando un raggio luminoso passa da un mezzo con indice di rifrazione maggiore a un mezzo con indice di rifrazione minore, il raggio rifratto si allontana dalla normale alla superficie di separazione. Se aumenta progressivamente l’angolo di incidenza, dunque, l’angolo di rifrazione aumenta a sua volta fino a raggiungere il valore limite di 90°. In questa situazione il raggio rifratto si propaga lungo la superficie di separazione tra i due mezzi.

L’angolo di incidenza che produce tale condizione è detto angolo limite o angolo critico.

Per angoli di incidenza superiori all’angolo critico non è più possibile la rifrazione della luce nel secondo mezzo. Di conseguenza tutta l’energia luminosa viene riflessa nel primo mezzo. Il fenomeno prende il nome di riflessione totale interna. Ribadiamo ancora – perché sarà importante ricordarlo nella trattazione della finestra di Snell – che tale fenomeno può verificarsi soltanto quando la luce passa da un mezzo più rifrangente a uno meno rifrangente (ad esempio dall’acqua all’aria, ma non viceversa).

La riflessione totale trova importanti applicazioni in molti campi come, ad esempio, nelle fibre ottiche. Essa, come vedremo fra poco, giocherà un ruolo importante anche nello studio della finestra di Snell.

La finestra di Snell

Quando un osservatore si trova sott’acqua e guarda verso la superficie, non vede l’ambiente esterno distribuito su tutto il campo visivo. Al contrario, tutto ciò che si trova fuori dall’acqua appare confinato all’interno di una regione circolare luminosa, circondata dalle immagini riflesse del fondale e dell’ambiente sommerso. Questo fenomeno, noto come finestra di Snell, deriva dalla differenza tra gli indici di rifrazione dell’aria e dell’acqua. In pratica, l’intero emisfero esterno, corrispondente a un campo visivo di 180°, viene compresso in un cono visivo sott’acqua ampio appena 97,2°. Ne consegue che un osservatore immerso che guarda verso l’alto sperimenta una compressione geometrica estrema dell’orizzonte.

La seguente figura illustra efficacemente la geometria di questo fenomeno.

Schema illustrativo della finestra di Snell. Tutti i raggi provenienti dalla calotta celeste, entrando nell’acqua, piegano la propria traiettoria e risultano compresi entro un cono di apertura pari a circa 97°.

La ragione di tale limite risiede direttamente nella legge di Snell. All’aumentare dell’inclinazione dei raggi provenienti dall’ambiente esterno, l’angolo dei raggi rifratti nell’acqua cresce fino a raggiungere un valore massimo di circa 48,6° rispetto alla normale. Questa configurazione limite corrisponde a un raggio incidente radente alla superficie e individua il confine oltre il quale nessuna ulteriore direzione di provenienza può essere mappata all’interno dell’acqua. Come vedremo nel prossimo paragrafo, lo stesso valore angolare compare, nel problema inverso, come angolo critico della riflessione totale interna.

Proprio questo valore delimita la regione dalla quale la luce esterna può raggiungere l’osservatore subacqueo e coincide con il bordo della finestra di Snell mostrata in figura. Tutti i raggi provenienti dall’emisfero superiore vengono così ricondotti all’interno di un cono visivo di apertura pari a circa 97,2°, comprimendo l’intero semispazio esterno entro una regione circolare ben delimitata.

Per un osservatore immerso, il mondo al di sopra della superficie appare quindi racchiuso all’interno di un disco luminoso sospeso sopra la testa. Al di fuori di questo disco non si vede il cielo né il paesaggio esterno, bensì l’ambiente subacqueo riflesso dalla superficie per effetto della riflessione totale. La superficie dell’acqua si comporta dunque come uno specchio, restituendo l’immagine di ciò che si trova sotto di essa.

Visione simulata che illustra l'effetto della finestra di Snell in un osservatore immerso nell'acqua. — *Visione simulata che illustra l’effetto della finestra di Snell su un osservatore che, immerso nell’acqua, guardi verso il cielo.*

Un’inversione di prospettiva: il principio di reversibilità e la riflessione totale

Per comprendere l’origine fisica di questa delimitazione geometrica, è straordinariamente efficace ribaltare la prospettiva analitica sfruttando il principio di reversibilità dei cammini ottici. Immaginiamo di posizionare una sorgente di luce puntiforme sul fondo del piano d’acqua, esattamente nel punto occupato dall’occhio dell’osservatore. Poi tracciamo il percorso dei raggi che viaggiano dal basso verso l’alto, come illustra la figura seguente.

Se al posto dell’osservatore subacqueo collochiamo idealmente una sorgente di luce e tracciamo il cammino inverso dei raggi (dall’acqua verso l’aria), il fenomeno della riflessione totale interna (raggi rossi) ci aiuta a comprendere l’effetto specchio che compare talvolta esternamente al cerchio centrale, per chi osservi la scena dal basso. *Le componenti riflesse dei raggi neri*, *per semplicità, non sono state tracciate.*

Man mano che l’angolo di incidenza sulla superficie dell’acqua aumenta, i raggi trasmessi nell’aria si piegano allontanandosi sempre più dalla normale. Quando l’angolo sott’acqua raggiunge il valore critico di 48,6°, ossia l’angolo limite, i raggi emergenti rifratti (linee azzurre tratteggiate), viaggiano perfettamente paralleli alla superficie di separazione. Questo raggio rappresenta l’orizzonte visivo.

La potenza didattica di questa rappresentazione risiede in ciò che accade immediatamente oltre. Per angoli di incidenza superiori a 48,6°, infatti, la fisica impone l’impossibilità di una rifrazione nell’aria. La luce subisce così il fenomeno della riflessione totale interna, venendo interamente respinta verso il fondo (linee rosse continue). Diventa allora evidente che la finestra di Snell e la riflessione totale sono due facce della stessa medaglia. Il cono di 97,2° non è solo la zona in cui si condensa la luce del cielo, ma è l’unico varco geometrico attraverso cui il mondo sommerso può comunicare otticamente con l’esterno, delimitato esternamente da una superficie dell’acqua che cessa di essere trasparente per trasformarsi in uno specchio perfetto per chi guarda dal fondo.

È interessante notare come l’effetto specchio generato dalla riflessione totale non sia sempre immediatamente riconoscibile nelle fotografie subacquee, dove la corona esterna al cono appare talvolta completamente nera. Questo non indica l’assenza del fenomeno, bensì l’esatto contrario. Lo sfondo nero ha due cause principali. La prima si verifica quando il fondo è molto lontano e non illuminato. In tal caso, la superficie specchiante riflette fedelmente l’oscurità degli abissi sottostanti, accentuando il distacco visivo tra la luminosità della “finestra” e il buio circostante. La seconda accade quando c’è una forte differenza d’illuminazione tra cerchio centrale e sfondo e il fotografo opta, ovviamente, per esporre correttamente la parte centrale.

La finestra di Snell è particolarmente evidente nelle fotografie subacquee e costituisce uno degli esempi più suggestivi delle conseguenze geometriche della rifrazione della luce. Pertanto, dopo le immagini simulate ed i diagrammi fin qui mostrati, vorrei concludere la trattazione con una fotografia reale, scattata il 22 aprile 2014 a French Cay, nelle Isole Turks e Caicos. L’autore dello scatto è il fotografo Simon Higton, che mi ha gentilmente concesso il permesso di pubblicarla.

In questo suggestivo scatto subacqueo, la “finestra di Snell” mostra il cielo sovrastante con le nuvole, il sole e alcune bolle prodotte dal subacqueo. I bordi frastagliati del cerchio sono dovuti alle onde presenti in superficie (in acqua ferma, il bordo sarebbe netto).
[*Per gentile concessione dell’autore ©Simon Higton*, http://www.simonhigtonphotograph y.co.uk].

Tre domande sulla finestra di Snell

Perché l’angolo di 97° è fisso?

La spiegazione di questo fenomeno risiede nella legge di Snell per la rifrazione che, per comodità, riscriviamo nella forma:

n_1 \cdot \sin\theta_1 = n_2 \cdot \sin\theta_2

Consideriamo il caso limite in cui un raggio proveniente dall’aria incida sulla superficie “acqua–aria” con angolo θ₁ = 90° rispetto alla normale, cioè parallelamente alla superficie. Sapendo che l’indice di rifrazione dell’aria è n₁ ≈ 1,0 e quello dell’acqua n₂ ≈ 1,333, si ha:

\sin\theta_2 = \frac{1}{1.333} \approx 0.75

da cui si ricava, tramite la funzione arcoseno, l’angolo limite rispetto alla normale (zenit), pari a circa 48,6°. Poiché la luce può provenire da tutte le direzioni dell’emisfero superiore, il campo visivo totale corrisponde al doppio di questo valore, ossia 97,2°.

Non è dunque la profondità dell’osservatore a determinare l’ampiezza della finestra di Snell, ma esclusivamente la legge di rifrazione, che dipende solo dagli indici di rifrazione dei due mezzi.

Cosa succede scendendo in profondità?

C’è un aspetto della finestra di Snell che a prima vista sfida totalmente il senso comune: l’angolo di campo inquadrato da sotto la superficie dell’acqua rimane sempre fisso a circa 97°, indipendentemente da quanto l’osservatore scenda in profondità. Istintivamente si potrebbe pensare che spingendosi più in basso la visuale si allarghi, permettendo di catturare una porzione maggiore di cielo. In realtà, la fisica dimostra che la porzione di mondo esterno visibile resta identica.

Abbiamo appena affermato, commentando la formula sopra riportata, che la luce si piega sempre allo stesso modo a prescindere da tutto. Pure la profondità a cui è situato l’apparecchio di ripresa, dunque, sarà ininfluente. Per comprendere questo paradosso, dobbiamo tenere separati due concetti ben distinti: la dimensione angolare dell’ampiezza visiva e la dimensione lineare rappresentata dai metri effettivi misurati sulla superficie.

Scendendo in profondità, ciò che si allarga è il diametro geometrico reale (in metri) del cerchio d’acqua sulla superficie attraverso cui penetra la luce. Immaginiamo la finestra di Snell al contrario, come il fascio luminoso di un proiettore posizionato sul fondo che spara la luce verso l’alto con un’apertura fissa di 97°. Attraverso la trigonometria elementare, possiamo calcolare il diametro effettivo D di questo cerchio sulla superficie in base alla profondità h espressa in metri, applicando la formula:

{D=2h\cdot\tan(48,6°)\approx 2,26\cdot h}

Se facciamo un calcolo pratico, i numeri sono sorprendenti:

a 1 metro di profondità, l’oblò sulla superficie dell’acqua ha un diametro reale di 2,26 metri;
a 5 metri di profondità, il cerchio reale si espande fino a 11,3 metri;
a 10 metri di profondità, l’area di ingresso della luce diventa un cerchio di 22,6 metri di diametro.

Il grande inganno visivo sta nel fatto che a 10 metri di profondità stiamo inquadrando una porzione di superficie d’acqua dieci volte più grande, ma poiché ci siamo anche allontanati di dieci volte da essa, per la legge della dimensione angolare quel cerchio gigante subisce una riduzione visiva che compensa esattamente il suo allargamento reale. I due effetti si annullano perfettamente: l’aumento della dimensione reale del cerchio compensa l’allontanamento visivo dell’osservatore. Ecco perché sul sensore della fotocamera la bolla circolare occuperà sempre lo stesso identico spazio e conterrà le medesime nuvole all’orizzonte.

Che obiettivo adoperare per fotografare la finestra di Snell?

La risposta a questa banale domanda non è semplice come potrebbe apparire. Uno potrebbe infatti pensare che sia sufficiente adoperare un obiettivo con un angolo di ripresa uguale, o leggermente superiore, a 97,2° – tipicamente corrispondente a una lunghezza focale pari a 18 mm. Ma non è così.

L’acqua riduce l’angolo di campo degli obiettivi rettilinei tradizionali. La luce, passando dall’acqua (più densa) all’aria contenuta dentro la custodia subacquea o la maschera (meno densa), subisce una rifrazione contraria. Questo fenomeno “restringe” il campo visivo di circa il 33%, moltiplicando idealmente la focale per un fattore all’incirca pari a 1,33. Quindi, ad esempio, un obiettivo da 18 mm su full frame ha circa 100° di campo in aria ma, in acqua, quell’obiettivo si comporta come un 24 mm, stringendo l’inquadratura a soli 75° circa ed impedendoci di inquadrare per intero i 97° della finestra di Snell. Più o meno, vedremmo solo il cielo, senza vedere il bordo nero provocato dalla riflessione totale.

Quindi per effettuare il nostro scatto, facendo varie considerazioni, dovremmo utilizzare un’ottica con lunghezza focale dell’ordine di 15–16 mm oppure, più comunemente, un fisheye in grado di coprire senza difficoltà l’intera apertura della finestra di Snell. In verità esistono sul mercato anche degli obiettivi rettilinei di lunghezze focali così corte, ma solitamente soffrono di una distorsione prospettica ai bordi molto accentuata (dovuta allo “stiramento” degli angoli tipico della proiezione gnomonica).

Ma non basta, occorre un’ulteriore cautela: dobbiamo usare un fisheye diagonale. Se usassimo un fisheye circolare (che produce già di per sé un cerchio inscritto nel rettangolo nero), la vignettatura nativa dell’obiettivo si sovrapporrebbe alla vignettatura naturale della finestra di Snell, rendendo la foto inutile dal punto di vista scientifico o dimostrativo. Non potremmo capire, in tal caso, se il cerchio nero che vediamo in foto sia quello causato dalle leggi della fisica subacquea o quello introdotto dall’obiettivo.

Conclusione

Il fenomeno della finestra di Snell, insieme al celebre esperimento di Wood, rappresenta una delle più suggestive anticipazioni naturali dei principi geometrici che caratterizzano gli obiettivi fisheye. In fondo, la sfida dei progettisti ottici nella realizzazione di un fisheye è quella di riprodurre artificialmente ciò che la natura realizza spontaneamente attraverso l’interazione tra luce e acqua: non più una semplice correzione della rifrazione, ma la sua ingegnerizzazione controllata.

Si tratta, in altre parole, di progettare sistemi ottici capaci di manipolare in modo estremo la geometria dei raggi luminosi, fino a comprimere l’intero emisfero visibile in un campo d’immagine fortemente distorto ma continuo. In questo senso, l’obiettivo fisheye può essere interpretato come un tentativo di “solidificare” la finestra di Snell all’interno del vetro, trasformando un fenomeno naturale in uno strumento di rappresentazione.

Così, ciò che nell’acqua si manifesta come un limite geometrico imposto dalle leggi della rifrazione, nell’ottica fotografica diventa una scelta progettuale: racchiudere i 180° del mondo reale all’interno della curvatura controllata di un obiettivo.

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